1、十字相乘法能把某些二次三項(xiàng)式分解因式。要?jiǎng)?wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號。對于形如ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式來說，方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積a1·a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)的系數(shù)b，那么可以直接寫成結(jié)果:ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。在運(yùn)用這種方法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過程。當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，往往需要多次試驗(yàn)，務(wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號?；臼阶樱簒2+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。

2、十字相乘法能把某些二次三項(xiàng)式分解因式。

【資料圖】

3、十字相乘法的方法

4、

4、簡單來講就是：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)。其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆運(yùn)算來進(jìn)行因式分解。十字相乘法能把某些二次三項(xiàng)式分解因式。對于形如ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式來說，方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積a1·a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)的系數(shù)b，那么可以直接寫成結(jié)果:ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。在運(yùn)用這種方法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過程。當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，往往需要多次試驗(yàn)，務(wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號?；臼阶樱簒2+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。

5、

5、例：

6、a2x2+ax-42

7、首先，我們看看第一個(gè)數(shù)，是a2，代表是兩個(gè)a相乘得到的，則推斷出(a×+？）×(a×+？），

8、然后我們再看第二項(xiàng)，+a這種式子是經(jīng)過合并同類項(xiàng)以后得到的結(jié)果，所以推斷出是兩項(xiàng)式×兩項(xiàng)式。

9、再看最后一項(xiàng)是-42，-42是-6×7或者6×-7也可以分解成-21×2或者21×-2。

10、首先，21和2無論正負(fù)，通過任意加減后都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除后者。

11、然后，再確定是-7×6還是7×-6。

12、(a×-7）×(a×+6）=a2x2-ax-42(計(jì)算過程省略）。

13、得到結(jié)果與原來結(jié)果不相符，原式+a變成了-a。

14、再算：

15、(a×+7）×（a×+（-6））=a2x2+ax-42

16、正確，所以a2x2+ax-42就被分解成為（ax+7）×(ax-6），這就是通俗的十字相乘法分解因式。

17、把2x2-7x+3分解因式。

18、分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分

19、別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)。

20、分解二次項(xiàng)系數(shù)(只取正因數(shù)因?yàn)槿∝?fù)因數(shù)的結(jié)果與正因數(shù)結(jié)果相同?。?/p>

21、2=1×2=2×1；

22、分解常數(shù)項(xiàng)：

23、3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

24、用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：

25、13

26、╳

27、21

28、1×1+2×3=7≠-7

29、11

30、╳

31、23

32、1×3+2×1=5≠-7

33、1-1

34、╳

35、2-3

36、1×(-3)+2×(-1)=-5≠-7

37、1-3

38、╳

39、2-1

40、1×(-1)+2×(-3)=-7

41、經(jīng)過觀察，第四種情況是正確的，這是因?yàn)榻徊嫦喑撕?，兩?xiàng)代數(shù)和恰等于一次項(xiàng)系數(shù)-7。

42、解2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)

43、通常地，對于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即a=a1a2，常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即c=c1c2，把a(bǔ)1，a2，c1，c2，排列如下：

44、a1c1

45、╳

46、a2c2

47、a1c2+a2c1

48、按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1與a2x+c2之積，即

49、ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。

50、像這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

51、例2

52、把5x2+6xy-8y2分解因式.

53、分析：這個(gè)多項(xiàng)式可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，把-8y2看作常數(shù)項(xiàng)，在分解二次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)系數(shù)時(shí)，只需分解5與-8，用十字交叉線分解后，經(jīng)過觀察，選取合適的一組，即

54、12

55、╳

56、5-4

57、1×(-4)+5×2=6

58、解5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).

59、指出：原式分解為兩個(gè)關(guān)于x，y的一次式。

60、把(x-y)(2x-2y-3）-2分解因式.

61、分析：這個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)因式之積與另一個(gè)因數(shù)之差的形式十字相乘法，只有先進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，把變形后的多項(xiàng)式再因式分解。

62、問：以上乘積的因式是什么特點(diǎn)，用什么方法進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算最簡便?

63、答：第二個(gè)因式中的前兩項(xiàng)如果提出公因式2，就變?yōu)?(x-y)，它是第一個(gè)因式的二倍，然后把(x-y）看作一個(gè)整體進(jìn)行乘法運(yùn)算，可把原多項(xiàng)式變形為關(guān)于(x-y）的二次三項(xiàng)式，就可以用十字相乘法分解因式了。

64、解(x-y)(2x-2y-3)-2

65、=(x-y)[2(x-y)-3]-2

66、=2(x-y)2-3(x-y)-2

67、1-2

68、╳

69、21

70、1×1+2×(-2）=－3

71、=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

72、=(x-y-2)(2x-2y+1).

73、指出：將元x、y換成（x+y），以（x+y）為元，這就是“換元法”。

74、重點(diǎn)：正確地運(yùn)用十字相乘法把某些二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式分解因式。

75、難點(diǎn)：靈活運(yùn)用十字相乘法分解因式。

76、一個(gè)集合中的個(gè)體，只有2個(gè)不同的取值，部分個(gè)體取值為A，剩余部分取值為B。平均值為C。求取值為A的個(gè)體與取值為B的個(gè)體的比例。假設(shè)總量為S，A所占的數(shù)量為M，B為S-M。

77、則：[A*M+B*(S－M）]/S=C

78、A*M/S+B*(S-M)/S=C

79、M/S=(C-B)/(A-B)

80、1-M/S=(A-C)/(A-B)

81、因此：M/S∶(1-M/S）=(C-B）∶(A-C)

82、上面的計(jì)算過程可以抽象為：

83、A^C-B

84、^C

85、B^A-C

86、這就是所謂的十字相乘法。X增加，平均數(shù)C向A偏，A-C(每個(gè)A給B的值）變小，C-B(每個(gè)B獲得的值）變大，兩者如上相除=每個(gè)B得到幾個(gè)A給的值。即比例，以十字相乘法形式展現(xiàn)更加清晰。

87、第一點(diǎn)：用來解決兩者之間的比例問題。

88、第二點(diǎn)：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系。

89、第三點(diǎn)：總均值放中央，對角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放在對角線上?！?/p>

90、對于形如ax2+bx+c的多項(xiàng)式，在判定它能否使用十字相乘法分解因式時(shí)，可以使用Δ=b2-4ac進(jìn)行判定。當(dāng)Δ為完全平方數(shù)時(shí)，可以在整數(shù)范圍該對多項(xiàng)式進(jìn)行十字相乘。

91、雙十字相乘法是一種因式分解方法。對于型如Ax2;+Bxy+Cy2;+Dx+Ey+F的多項(xiàng)式的因式分解，常采用的方法是待定系數(shù)法。這種方法運(yùn)算過程較繁。對于這問題，若采用“雙十字相乘法”(主元法），就能很容易將此類型的多項(xiàng)式分解因式。

92、例：3x2;+5xy－2y2;+x+9y－4=(x+2y－1）(3x－y+4）

93、因?yàn)?=1×3，－2=2×(－1），－4=(－1）×4，

94、而1×(－1）+3×2=5，2×4+(－1）(－1）=9，1×4+3×(－1）=1

95、要訣：把缺少的一項(xiàng)當(dāng)作系數(shù)為0，0乘任何數(shù)得0，

96、例：ab+b2+a－b－2

97、=0×1×a2+ab+b2+a－b－2

98、=(0×a+b+1）(a+b－2）

99、=(b+1）(a+b－2）

100、提示：設(shè)x2=y，用拆項(xiàng)法把cx2拆成mx2與ny之和。

101、例：2x^4+13x^3+20x2+11x+2

102、=2y2+13xy+15x2+5y+11x+2

103、=(2y+3x+1）(y+5x+2）

104、=(2x2+3x+1）(x2+5x+2）

105、=(x+1）(2x+1）(x2+5x+2）

106、分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法．對于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我們也可以用十字相乘法分解因式。

107、例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為

108、2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3），

109、可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式．

110、對于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為

111、即

112、-22y2+35y-3=(2y-3）(-11y+1）．

113、再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解

114、所以

115、原式=〔x+(2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕

116、=(x+2y-3）(2x-11y+1）．

117、(x+2y）(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

118、(x-3）(2x+1）=2x2-5x-3；

119、(2y-3）(-11y+1）=-22y2+35y-3．

120、這就是所謂的雙十字相乘法．也是俗稱的“主元法”

121、用雙十字相乘法對多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：

122、⑴用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列）；

123、⑵把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一列、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx．

124、我們把形如anx^n+a(n-1）x^(n-1）+…+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù)）的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x），g(x），…等記號表示，如

125、f(x)=x2-3x+2，g(x)=x^5+x2+6，…，

126、當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x）的值用f(a）表示．如對上面的多項(xiàng)式f(x)

127、f⑴=12-3×1+2=0；

128、f(-2）=(-2）2-3×(-2）+2=12．

129、若f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(x）的一個(gè)根．

130、定理1(因式定理）若a是一元多項(xiàng)式f(x）的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x）至少有一個(gè)因式x-a．

131、根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x）的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x）的根．對于任意多項(xiàng)式f(x），要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x）的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根。

132、怎樣進(jìn)行分解因式

133、例7x+(-8x)=-x

134、解：原式=（x+7）（x-8）

135、例2

136、-2x+（-8x）=-10x

137、解：原式=（x-2）（x-8）

138、例3、

139、分析：該題雖然二次項(xiàng)系數(shù)不為1，但也可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解。

140、因?yàn)?/p>

141、9y+10y=19y

142、解：原式=（2y+3）（3y+5）

143、例4、因式分解。

144、分析：因?yàn)?/p>

145、21x+(-18x)=3x

146、解：原式=（2x+3）（7x-9）

147、例5、因式分解。

148、分析：該題可以將（x+2）看作一個(gè)整體來進(jìn)行因式分解。

149、因?yàn)?/p>

150、-25（x+2）+[-4(x+2)]=-29（x+2）

151、解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]

152、=（2x-1）（5x+8）

153、例6、因式分解。

154、分析：該題可以先將（）看作一個(gè)整體進(jìn)行十字相乘法分解，接著再套用一次十字相乘。

155、因?yàn)?/p>

156、-2+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a+（-4a）=-a

157、解：原式=[-2][-12]

158、=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)

本文到此結(jié)束，希望對大家有所幫助。